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時間変化がない簡易版マックスウェル方程式

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簡易版マックスウェル方程式

たった4つの方程式で電磁場における振る舞いを記述したマックスウェル方程式の存在からか、電磁気学は 世界で最も美しい学問 と言われたりします。

ただし、それが意味することは初学者には分かりづらいです。

そこでマックスウェル方程式から時間変化部分、つまり \frac{d}{dt} の部分を取り除いてシンプルにしてみました。

それらが以下の4つの方程式です。

ガウスの法則

\nabla \cdot \rm{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}}

ファラデーの法則

\nabla \times \rm{E} = 0

アンペールの法則

\nabla \times \rm{B} = \dfrac{\rm{j}}{\varepsilon_{0}c^{2}}

磁荷は存在しない

\nabla \cdot \rm{B} = 0


本記事では時間変化を考慮しない電磁気学を表す式を読み解くことで、電磁気学のエッセンスを掴みたい人に参考になると思います。

尚、ベクトル解析のナブラの意味等は前提として話を進めます。

静電場について

一つ目の式である以下ですが、
\nabla \cdot \rm{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}}
\rm{E}は電場で\rhoは電荷、\varepsilonは誘電率です。

この式は「電荷が電場の発散を決める」ことを意味し、電荷と電場の間の関係式であるガウスの法則となります。

二つ目の式である以下ですが、
\nabla \times \rm{E} = 0
この式は「電場は回転しない」を意味します。

これは、「磁束の時間変化は電場を回転させる」というファラデーの法則における特殊ケースとして見ることもできます。

静磁場について

三つ目の式である以下ですが、
\nabla \times \rm{B} = \dfrac{\rm{j}}{\varepsilon_{0}c^{2}}
\rm{B}は磁場で j は電流、c は光の速さです。

これは「電流が磁場の回転を決める」ことを意味します。

ちなみに、磁場は電場の時間変化によっても回転します。つまり、この式は磁場の回転に関する法則であるアンペールの法則の特殊ケースとなります。


最後に四つ目の式ですが
\nabla \cdot \rm{B} = 0
これは文字通り「磁場は発散しない」ことを意味します。言い換えると、磁場を生み出す磁荷のようなものは存在しないことを前提にしています。

まとめると

時間変化がない世界では電場は発散するが磁場は発散せず、電場は回転しないが磁場は電流によって回転します

まずは、ここを整理した上で時間変化が含まれたマックスウェル方程式に取り組むと、少し理解しやすくなると思います。

電磁気学では、線積分や閉局面といった数学の概念がオンパレードでとっつきにくいですが、それらの理解の一助になれば幸いです。


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