【クイズ】コーヒーとミルクの問題を数式で理解する

はじめに

コーヒーとミルクという論理クイズがあり、直観に反する事象のため、説明を聞いても腹落ちしない時があります。
なので、有無を言わせず納得すべく数式にしてみました。

また、追加として使うスプーンを途中で変更するケースについても補足として考察しました。

ちなみに、濃度の計算式さえ知っていれば定式化できるレベルなので中学数学の問題としても使えると思いました。

問題と解答

2つのカップA,Bがある。
Aにはミルクが、Bにはコーヒーが入っている。
いま、AのミルクをスプーンですくってBに移し、Bをよくかきまぜる。
その後、さきほどと同じ量だけBの液体をスプーンですくってAに移す。
このとき、Aの中にあるコーヒーの量は、Bの中にあるミルクの量より多いだろうか？

という頭の体操です。で、答えは同じ量です。

要は、ブラックのコーヒーにミルク入れからスプーン一杯のミルクを入れ、そのコーヒーをスプーン一杯に取り出すとそのスプーンに入っているコーヒーの量とコーヒーカップに残ったミルクの量が同じという不思議な話です。

数式で理解する

問題の性質上、ミルクしか入っていないAに入ってくるコーヒーの量だけが知りたいので、もともとミルクが何グラムかは情報として全く必要がない点がポイントです。

ただ、そうは言っても必要がないことを理解するために変数で表現しておきます。

もともとAに入っているミルクの量を $m_{A}$ とし、もともとBに入っているブラックコーヒーの量を $c_{B}$ 、スプーン一杯で移動させる量を $x_s$ とします。

AのミルクをスプーンですくってBに移し、Bをよくかきまぜる

これを実行するとAのミルクの量は $m_{A}-x_s$ となります。

そして、Bはミルクとコーヒーの混合物になります。ミルクの量は $x_s$ グラムでコーヒーの量は $c_{B}$ グラム。ミルクの濃度は $\cfrac{x_s}{s+c_{B}}$ %、コーヒーの濃度は $\cfrac{c_{B}}{x_s+c_{B}}$ %です。

例えば、 $x_s$ を10gで $c_{B}$ を90gとすれば、ミルクの濃度は10%でコーヒーの濃度は90%。そこから10gを取り出した時、10gの10%である1gがミルクで、90%である9gがコーヒーです。

さきほどと同じ量だけBの液体をスプーンですくってAに移す

Bから $x_s$ グラムだけAに移します。
まずはスプーンの中にミルクとコーヒーがそれぞれ何グラム入っているか考えます。

上で算出した濃度の式を使えば簡単で
スプーンの中のミルクの量は $x_s\cfrac{x_s}{x_s+c_{B}}$
スプーンの中のコーヒーの量は $x_s\cfrac{c_{B}}{x_s+c_{B}}$

よって
容器Aのミルクの量は $m_{A}-x_s+x_ s\cfrac{x_s}{x_s+c_{B}}$
容器Aのコーヒーの量は $x_s\cfrac{c_{B}}{x_s+c_{B}}$

容器Bのミルクの量は $x_s-x_s\cfrac{x_s}{x_s+c_{B}}$
容器Bのコーヒーの量は $c_{B}-x_s\cfrac{c_{B}}{x_s+c_{B}}$
となります。

で、今回は容器Aのコーヒーの量と容器Bのミルクの量が聞かれています。

容器Aのコーヒーの量は $\cfrac{x_{s}c_{B}}{x_s+c_{B}}$ でそのままなので容器Bのミルクの量が本当にこの値になるか確かめます。

$x_s-x_s\cfrac{x_s}{x_s+c_{B}}$
は
$\cfrac{x_s(x_s+c_{B})}{x_s+c_{B}}-x_s\cfrac{x_s}{x_s+c_{B}}$
と変換ができ
$\cfrac{x_{s}c_{B}}{x_s+c_{B}}$
になります。

確かに一致します。

補足

今回の問題において、ミルクを入れたスプーンと混ぜた後に取り出すスプーンの大きさは同じである必要はあるんでしょうか？

取り出す際のスプーンの容量を $y_{s}$ とすると
スプーンの中のミルクの量は $y_s\cfrac{x_s}{x_s+c_{B}}$
スプーンの中のコーヒーの量は $y_s\cfrac{c_{B}}{x_s+c_{B}}$

よって
容器Aのコーヒーの量は $y_s\cfrac{c_{B}}{x_s+c_{B}}$

となり、容器Bのミルクの量は $x_s-y_s\cfrac{x_s}{x_s+c_{B}}$ でこれを計算すると
$\cfrac{x_s(x_s+c_{B})}{x_s+c_{B}}-y_s\cfrac{x_s}{x_s+c_{B}}$
と変換ができ
$\cfrac{x^2_{s}+x_{s}c_{B}-y_{s}x_{s}}{x_s+c_{B}}$
になります。